【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知△ABC的兩個頂點A,B的坐標(biāo)分別為(﹣1,0),(1,0),且AC、BC所在直線的斜率之積等于﹣2,記頂點C的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程;
(2)設(shè)直線y=2x+m(m∈R且m≠0)與曲線E相交于P、Q兩點,點M( ,1),求△MPQ面積的取值范圍.

【答案】
(1)解:設(shè)C(x,y),由題意,可得 =﹣2(x≠±1),

∴曲線E的方程為 =1(x≠±1)


(2)解:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),

聯(lián)立 ,消去y,得6x2+4mx+m2﹣2=0,

∵△=48﹣8m2>0,∴m2<6,

∵x≠±1,∴m≠±2,

又∵m≠0,∴0<m2<6,且m2≠4,

, ,

∴|PQ|= |x1﹣x2|=

=

=

點M( ,1)到PQ的距離d= =

∵0<m2<6,m2≠4,

=( 2= = m2m2(12﹣2m2

3= = ,

當(dāng)且僅當(dāng)m2=12﹣2m2時,取等號,又m2≠4,

∈(0, ).

∴△MPQ面積的取值范圍是(0,


【解析】(1)設(shè)C(x,y),由題意,可得 =﹣2(x≠±1),由此能求出曲線E的方程.(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立 ,得6x2+4mx+m2﹣2=0,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式、三角形面積公式,結(jié)合已知條件能求出△MPQ面積的取值范圍.

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