Question

7．某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對該校高三學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查，在高三的全體1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表，并得到如圖直方圖：
（Ⅰ）若直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計(jì)全年級視力在5.0以下的人數(shù)；
（Ⅱ）學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績是否有關(guān)系，對年級名次在1～50名和951～1000名的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

是否近視	1～50	951～1000	合計(jì)
年級名次
近視	41	32	73
不近視	9	18	27
合計(jì)	50	50	100

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系？
（Ⅲ）在（Ⅱ）中調(diào)查的100名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了9人，進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣，并且在這9人中任取3人，記名次在1～50名的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

附：
K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．
n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖可知：分布求得第一到第六組的頻數(shù)，求得視力在5.0以的頻率為1-0.08=0.82，全年級5.0以上的人數(shù)為1000×0.82=820；
（Ⅱ）求出K²，與臨界值比較，K²≈4.110＞3.841．由此能求出在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系．
（Ⅲ）依題意9人中年級名次在1～50名和951～1000名分別有3人和6人，X可取0、1、2、3，分別求出相應(yīng)在的概率，由此能求出X的分布列和X的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）由圖可得：前三組的頻率分別為：0.03，0.07，0.27，
∴第一組有3人，第二組7人，第三組有27人，
后四組頻數(shù)成等差數(shù)列，
∴后四組的頻數(shù)27，24，21，18，
∴所以視力在5.0以的頻率為1-0.08=0.82，
所以全年級5.0以上的人數(shù)為1000×0.82=820；
（Ⅱ）K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{100×（41×18-32×9）^{2}}{50×50×73×27}$≈4.110＞3.841．
因此，在犯錯的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系；
（Ⅲ）由題意可知9人中年級名次在1-50名和951-1000名的人數(shù)分別為3人和6人，
∴X的取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{5}{21}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{3}{14}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{84}$，
X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{21}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{1}{84}$

∴E（X）=0×$\frac{5}{21}$+1×$\frac{15}{28}$+2×$\frac{3}{14}$+3×$\frac{1}{84}$=1，
E（X）=1．

點(diǎn)評 本題考查直方圖，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查求X的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．