Question

14．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x^a（a∈R），函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，2）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x²）-f（-x²+x-1）＞0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，2）．可得a值，結(jié)合f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，可得函數(shù)的解析式；
（2）不等式f（x²）-f（-x²+x-1）＞0可化為：|x²|＞|-x²+x-1|，即x²＞x²-x+1，解得答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，2）．
∴4^a=2，解得：a=$\frac{1}{2}$，
故當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\sqrt{x}$，
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
由f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，可得此時(shí)f（x）=f（-x）=$\sqrt{-x}$，
綜上可得：f（x）=$\sqrt{\left|x\right|}$
（2）若f（x²）-f（-x²+x-1）＞0，
則f（x²）＞f（-x²+x-1），
則|x²|＞|-x²+x-1|，
即x²＞x²-x+1，
解得：x＞1

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性性質(zhì)，不等式的解法，函數(shù)解析式的求法，難度中檔．