Question

5．如圖，△OAB是邊長為2的正三角形，當一條垂直于底邊OA（垂足不與O，A重合）的直線x=t從左至右移動時，直線l把三角形分成兩部分，記直線l左邊部分的面積y．
（Ⅰ）寫出函數(shù)y=f（t）的解析式；
（Ⅱ）寫出函數(shù)y=f（t）的定義域和值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）結(jié)合圖形，便可看出分0＜t≤1和1＜t＜2兩種情況來求直線x=t的左邊圖形的面積，然后用分段函數(shù)寫出y=f（t）的解析式即可；
（Ⅱ）可求出OAB的面積，根據(jù)題意即可寫出函數(shù)y=f（t）的定義域和值域．

解答 解：（Ⅰ）（1）當0＜t≤1時，$y=\frac{1}{2}•t•t•tan60°=\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}$；
（2）當1＜t＜2時，$y=\frac{1}{2}•2•2•sin60°-\frac{1}{2}•（2-t）•（2-t）•tan60°$$\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}（4-4t+{t}^{2}）=-\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+2\sqrt{3}t-\sqrt{3}$；
∴$f（t）=\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}}&{0＜t≤1}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+2\sqrt{3}t-\sqrt{3}}&{1＜t＜2}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）y=f（x）的定義域為（0，2）；
${S}_{△OAB}=\sqrt{3}$，∴由問題的實際知，y=f（x）的值域為（0，$\sqrt{3}$）．

點評 考查三角形的面積公式，數(shù)形結(jié)合解題的方法，分段函數(shù)的定義及表示形式，根據(jù)實際問題求函數(shù)的定義域和值域的方法．