Question

12．函數(shù)y=f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）處的切線的斜率分別是k_A，k_B，規(guī)定φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$叫做曲線y=f（x）在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“彎曲度”，給出以下命題：
①函數(shù)y=x³-x²+1圖象上兩點(diǎn)A與B的橫坐標(biāo)分別為1，2，則φ（A，B）＞$\sqrt{3}$；
②存在這樣的函數(shù)，圖象上任意兩點(diǎn)之間的“彎曲度”為常數(shù)；
③設(shè)點(diǎn)A、B是拋物線y=x²+1上不同的兩點(diǎn)，則φ（A，B）≤2；
④設(shè)曲線y=e^x上不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁-x₂=1，若t•φ（A，B）＜1恒成立，則實(shí)數(shù)t 的取值范圍是（-∞，1）．以上正確命題的序號為（　�。�

• A． ①②
• B． ②③
• C． ③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 由新定義，利用導(dǎo)數(shù)逐一求出函數(shù)y=x³-x²+1、y=x²+1在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“彎曲度”判斷（1）、（3）；舉例說明（2）正確；求出曲線y=e^x上不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）之間的“彎曲度”，然后結(jié)合t•φ（A，B）＜1得不等式，舉反例說明（4）錯誤．

解答 解析：①錯：解：對于（1），由y=x³-x²+1，得y′=3x²-2x，
則k_A=1，k_B=8，則|k_A-k_B|=7
y₁=1，y₂=5，則|AB|=$\sqrt{17}$，
φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$$\frac{7}{\sqrt{17}}＜\sqrt{3}$，①錯誤；
②對：如y=1時成立；
③對：φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$=$\frac{|2{x}_{A}-2{x}_{B}|}{\sqrt{（{x}_{A}-{x}_{B}）^{2}+（{{x}_{A}}^{2}-{{x}_{B}}^{2}）^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+（{x}_{A}+{x}_{B}）^{2}}}≤2$；
④錯：對于（4），由y=e^x，得y′=e^x，φ（A，B）=$\frac{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}{\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}}$=$\frac{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}{\sqrt{1+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}}$．
t•φ（A，B）＜1恒成立，即$t|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|＜\sqrt{1+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}$恒成立，t=1時該式成立，∴（4）錯誤．
故答案為：②③

點(diǎn)評 本題是新定義題，考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查了函數(shù)恒成立問題，關(guān)鍵是對題意的理解．