【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx﹣x2 , a∈R,
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若x≥1時(shí),f(x)≤0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)設(shè)a>0,若A(x1 , y1),B(x2 , y2)為曲線y=f(x)上的兩個(gè)不同點(diǎn),滿足0<x1<x2 , 且x3
(x1 , x2),使得曲線y=f(x)在x=x3處的切線與直線AB平行,求證:x3

【答案】
(1)

解:∵函數(shù)f(x)=alnx﹣x2,x>0,a∈R,

∴f′(x)= ﹣2x= ;

當(dāng)a≤0時(shí),∵x>0,∴f′(x)<0,∴f(x)在定義域上是減函數(shù);

當(dāng)a>0時(shí),令f′(x)=0,即a﹣2x2=0,解得x= ,

∴x> 時(shí),f′(x)<0,f(x)是減函數(shù),

0<x< 時(shí),f′(x)>0,f(x)是增函數(shù);

綜上,a≤0時(shí),f(x)的減區(qū)間是(0,+∞),

a>0時(shí),f(x)的減區(qū)間是( ,+∞),增區(qū)間是(0, );


(2)

解:根據(jù)(1)知,a≤0時(shí),f(x)的減區(qū)間是(0,+∞),

令f(1)<0,則﹣x2<0恒成立,∴a≤0滿足題意;

a>0時(shí),f(x)的減區(qū)間是( ,+∞),增區(qū)間是(0, );

當(dāng) ≤1,即0<a≤2時(shí),f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù),∴0<a≤2滿足題意;

當(dāng) >1,即a>2時(shí),f(x)的最大值是f( ),令f( )≤0,

即aln ≤0,解得a≤2e,即2<a≤2e滿足題意;

綜上,a的取值范圍是a≤2e;


(3)

解:當(dāng)a>0時(shí),A(x1,y1),B(x2,y2)為曲線y=f(x)上的兩個(gè)不同點(diǎn),滿足0<x1<x2時(shí),

x3∈(x1,x2),使得曲線y=f(x)在x=x3處的切線與直線AB平行,如圖所示;

∴kAB= = ,

又∵f′(x)= ﹣2x,

∴kl=f′(x3)= ﹣2x3

= ﹣2x3

∵f′(x)= ﹣2x在(0,+∞)上是減函數(shù),

∴欲證:x3 ,即證明f′(x3)>f′( ),

﹣(x1+x2),

變形為

∴l(xiāng)n >2 ,

∴l(xiāng)n >2 ;

設(shè) =t(t>1),

則上述不等式等價(jià)于lnt>2 ,

即(t+1)lnt>2(t﹣1);

構(gòu)造函數(shù)g(t)=lnt+ ﹣1,

當(dāng)t>1時(shí),g′(t)= = ,

∴g′(t)在(1,+∞)上為增函數(shù);

∴g′(t)>g′(1)=0,

∴g(t)在t>1時(shí)是增函數(shù),

∴g(t)>g(1)=0;

∴g(t)>0在(1,+∞)上恒成立,

即(t+1)lnt>2(t﹣1)恒成立.

∴x3 恒成立.


【解析】(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)來判斷f(x)的增減性,從而求出單調(diào)區(qū)間;(2)根據(jù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,求出f(x)在(1,+∞)上的最大值,令最大值小于或等于0,求出a的取值范圍;(3)當(dāng)a>0時(shí),求出直線AB的斜率kAB , 由直線AB與切線平行,得出x3與x1+x2的關(guān)系式;構(gòu)造函數(shù)g(t),利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式x3 恒成立即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.

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序號(hào)i

分組
(睡眠時(shí)間)

組中值(Gi

頻數(shù)
(人數(shù))

頻率(Fi

1

[4,5)

4.5

6

0.12

2

[5,6)

5.5

10

0.20

3

[6,7)

6.5

20

0.40

4

[7,8)

7.5

10

0.20

5

[8,9]

8.5

4

0.08

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A.
B.1
C.
D.

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A.
B.
C.
D.2

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A.
B.
C.
D.

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A.
B.
C.
D.

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