Question

14．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n+a_n+1=（-1）${\;}^{\frac{n（n+1）}{2}}$n，S_n是其前n項(xiàng)和，若S₂₀₁₅=-1007-b，且a₁b＞0，則$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}$的最小值為$3+2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由已知遞推式得到a₂+a₃=-2，a₄+a₅=4，…，a₂₀₁₂+a₂₀₁₃=2012，a₂₀₁₄+a₂₀₁₅=-2014，累加可求S₂₀₁₅，結(jié)合S₂₀₁₅=-1007-b求得a₁+b=1，代入$\frac{1}{a_1}+\frac{2}$展開(kāi)后利用基本不等式求最值．

解答 解：由已知得：a₂+a₃=-2，a₄+a₅=4，…，a₂₀₁₂+a₂₀₁₃=2012，a₂₀₁₄+a₂₀₁₅=-2014，
把以上各式相加得：S₂₀₁₅-a₁=-2014+1006=-1008，
∴S₂₀₁₅=a₁-1008=-1007-b，即a₁+b=1，
∴$\frac{1}{a_1}+\frac{2}=\frac{{{a_1}+b}}{a_1}+\frac{{2（{a_1}+b）}}$=$3+\frac{a_1}+\frac{{2{a_1}}}≥3+2\sqrt{2}$．
故答案為：$3+2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了累加法求數(shù)列的和，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．