Question

7．已知一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{6}$，這個長方體的外接球的表面積是6π．

Answer 1

分析 根據(jù)題意建立方程組，解出長方體的長、寬、高分別為$\sqrt{3}，\sqrt{2}$，1，從而算出長方體的對角線長l=$\sqrt{6}$，可得外接球的直徑，利用球的表面積公式即可算出長方體外接球的表面積．

解答 解：設(shè)長方體的長、寬、高分別為x、y、z，
∵長方體共頂點的三個面的面積分別是$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{6}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{xy=\sqrt{6}}\\{ya=\sqrt{2}}\\{zx=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解之得x=$\sqrt{3}$，y=$\sqrt{2}$，z=1，
可得長方體的對角線長l=$\sqrt{6}$．
設(shè)長方體外接球的半徑為R，則2R=l=$\sqrt{6}$，可得R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴長方體外接球的表面積是S=4πR²=6π．
故答案為：6π．

點評 本題給出長方體共頂點的三個面的面積，求外接球的表面積．著重考查了長方體的對角線長公式、矩形面積公式與球的表面積計算等知識，屬于基礎(chǔ)題．