Question

12．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面BB₁C₁C是邊長為2的正方形，點A₁在平面BB₁C₁C上的射影H是BC₁的中點，且A₁H=$\sqrt{3}$，G是CC₁的中點．
（1）求證：BB₁⊥A₁G；
（2）求C到平面A₁B₁C₁的距離．

Answer 1

分析 （1）連接GH，由已知得A₁H⊥平面BB₁C₁C，可得A₁H⊥BB₁，由中位線和條件得BB₁⊥HG，由線面垂直的判定定理可證結(jié)論成立；
（2）取B₁C₁的中點E，連接HE、A₁E，由題意和線面垂直的判定定理、定義得B₁C₁⊥A₁E，求出△A₁B₁C₁的面積，由等體積法求出C到平面A₁B₁C₁的距離．

解答 證明：（1）如圖連接GH，
∵點A₁在平面BB₁C₁C上的射影H，
∴A₁H⊥平面BB₁C₁C，
∵BB₁BC?平面BB₁C₁C，∴A₁H⊥BB₁，
∵H是BC₁的中點，G是CC₁的中點，
∴HG∥BC，
由∠B₁BC=90°知，BB₁⊥BC，∴BB₁⊥HG
∵A₁H∩HG=H，∴BB₁⊥平面A₁HG，
∴BB₁⊥A₁G；
解：（2）取B₁C₁的中點E，連接HE、A₁E，
由∠BB₁C₁=90°得，HE⊥B₁C₁，
∵A₁H⊥平面BB₁C₁C，∴A₁H⊥B₁C₁，
∵A₁H∩HE=H，∴B₁C₁⊥平面A₁HE，∴B₁C₁⊥A₁E，
∵H是BC₁的中點，E是B₁C₁的中點，∴HE∥BB₁，且HE=1，
在△A₁HE中，A₁E=$\sqrt{{A}_{1}{H}^{2}+H{E}^{2}}$=2，∴${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$•B₁C₁AB•A₁EBC=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
設(shè)C到平面A₁B₁C₁的距離為h，由${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}{C}_{1}C}$=V_A${V}_{{C-A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$得，
$\frac{1}{3}$×A₁E×${S}_{△{B}_{1}{C}_{1}C}$=$\frac{1}{3}$×h×${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，
則$\frac{1}{3}×$$\sqrt{3}×$$\frac{1}{2}×$2×2=$\frac{1}{3}×$h×2，解得h=$\sqrt{3}$，
∴C到平面A₁B₁C₁的距離是$\sqrt{3}$．

點評 本題考查空間位置關(guān)系及三棱錐的體積，考查線面垂直的判定定理、定義，及等體積法的應(yīng)用，屬中檔題．