【題目】無窮數(shù)列滿足: 為正整數(shù),且對任意正整數(shù), 為前項(xiàng), , , 中等于的項(xiàng)的個數(shù).
(Ⅰ)若,請寫出數(shù)列的前7項(xiàng);
(Ⅱ)求證:對于任意正整數(shù),必存在,使得;
(Ⅲ)求證:“”是“存在,當(dāng)時,恒有 成立”的充要條件。
【答案】(Ⅰ)2,1,1,2,2,3,1;(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ)證明見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)根據(jù)題設(shè)條件,直接寫出即可;
(Ⅱ)假設(shè)存在正整數(shù),使得對任意的, ,利用反證法證明即可;
(Ⅲ)可分充分性和必要性證明即可,當(dāng)時,得數(shù)列滿足, ,當(dāng)為偶數(shù),則;當(dāng)為奇數(shù),則,即可證得充分性;再作出必要性的證明即可.
試題解析:
(Ⅰ)2,1,1,2,2,3,1
(Ⅱ)假設(shè)存在正整數(shù),使得對任意的, . 由題意,
考慮數(shù)列的前項(xiàng):
, , ,…,
其中至少有項(xiàng)的取值相同,不妨設(shè)
此時有: ,矛盾.
故對于任意的正整數(shù),必存在,使得.
(Ⅲ)充分性:
當(dāng)時,數(shù)列為, , , , , , ,…, , , , ,…
特別地, , ,故對任意的
(1)若為偶數(shù),則
(2)若為奇數(shù),則
綜上, 恒成立,特別地,取有當(dāng)時,恒有成立
方法一:假設(shè)存在(),使得“存在,當(dāng)時,恒有成立”
則數(shù)列的前項(xiàng)為
, , , , , , , ,…, , , ,
, , , , ,…, , , ,
, , ,…, , , ,
, , , ,
, ,
后面的項(xiàng)順次為
, , , ,…, ,
, , , ,…, ,
, , , ,…, ,
……
對任意的,總存在,使得, ,這與矛盾,故若存在,當(dāng)時,恒有成立,必有
方法二:若存在,當(dāng)時, 恒成立,記.
由第(2)問的結(jié)論可知:存在,使得(由s的定義知)
不妨設(shè)是數(shù)列中第一個大于等于的項(xiàng),即均小于等于s.
則.因?yàn)?/span>,所以,即且為正整數(shù),所以.
記,由數(shù)列的定義可知,在中恰有t項(xiàng)等于1.
假設(shè),則可設(shè),其中,
考慮這t個1的前一項(xiàng),即,
因?yàn)樗鼈兙鶠椴怀^s的正整數(shù),且,所以中一定存在兩項(xiàng)相等,
將其記為a,則數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)恰好為(a,1)的情況至少出現(xiàn)2次,但根據(jù)數(shù)列的定義可知:第二個a的后一項(xiàng)應(yīng)該至少為2,不能為1,所以矛盾!
故假設(shè)不成立,所以,即必要性得證!
綜上,“”是“存在,當(dāng)時,恒有成立”的充要條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若當(dāng)時,函數(shù)的圖象恒在直線上方,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是定義在上的偶函數(shù), ,都有,且當(dāng)時, ,若函數(shù)()在區(qū)間內(nèi)恰有三個不同零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)中國日報網(wǎng)報道:2017年11月13日,TOP500發(fā)布的最新一期全球超級計算機(jī)500強(qiáng)榜單顯示,中國超算在前五名中占據(jù)兩席,其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了國產(chǎn)品牌處理器。為了了解國產(chǎn)品牌處理器打開文件的速度,某調(diào)查公司對兩種國產(chǎn)品牌處理器進(jìn)行了12次測試,結(jié)果如下(數(shù)值越小,速度越快,單位是MIPS)
測試1 | 測試2 | 測試3 | 測試4 | 測試5 | 測試6 | 測試7 | 測試8 | 測試9 | 測試10 | 測試11 | 測試12 | |
品牌A | 3 | 6 | 9 | 10 | 4 | 1 | 12 | 17 | 4 | 6 | 6 | 14 |
品牌B | 2 | 8 | 5 | 4 | 2 | 5 | 8 | 15 | 5 | 12 | 10 | 21 |
(Ⅰ)從品牌A的12次測試中,隨機(jī)抽取一次,求測試結(jié)果小于7的概率;
(Ⅱ)從12次測試中,隨機(jī)抽取三次,記X為品牌A的測試結(jié)果大于品牌B的測試結(jié)果的次數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X);
(Ⅲ)經(jīng)過了解,前6次測試是打開含有文字和表格的文件,后6次測試是打開含有文字和圖片的文件.請你依據(jù)表中數(shù)據(jù),運(yùn)用所學(xué)的統(tǒng)計知識,對這兩種國產(chǎn)品牌處理器打開文件的速度進(jìn)行評價.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,其中 為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性,并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè),若函數(shù)對任意都成立,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若直線與曲線滿足下列兩個條件:
(i)直線在點(diǎn)處與曲線相切;(ii)曲線在點(diǎn)附近位于直線的兩側(cè).則稱直線在點(diǎn)處“切過”曲線.
下列命題正確的是__________(寫出所有正確命題的編號).
①直線在點(diǎn)處“切過”曲線;
②直線在點(diǎn)處“切過”曲線;
③直線在點(diǎn)處“切過”曲線;
④直線在點(diǎn)處“切過”曲線;
⑤直線在點(diǎn)處“切過”曲線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知表1和表2是某年部分日期的天安門廣場升旗時刻表:
表1:某年部分日期的天安門廣場升旗時刻表
日期 | 升旗時刻 | 日期 | 升旗時刻 | 日期 | 升旗時刻 | 日期 | 升旗時刻 |
1月1日 | 7:36 | 4月9日 | 5:46 | 7月9日 | 4:53 | 10月8日 | 6:17 |
1月21日 | 7:11 | 4月28日 | 5:19 | 7月27日 | 5:07 | 10月26日 | 6:36 |
2月10日 | 7:14 | 5月16日 | 4:59 | 8月14日 | 5:24 | 11月13日 | 6:56 |
3月2日 | 6:47 | 6月3日 | 4:47 | 9月2日 | 5:42 | 12月1日 | 7:16 |
3月22日 | 6:15 | 6月22日 | 4:46 | 9月20日 | 5:50 | 12月20日 | 7:31 |
表2:某年1月部分日期的天安門廣場升旗時刻表
日期 | 升旗時刻 | 日期 | 升旗時刻 | 日期 | 升旗時刻 |
2月1日 | 7:23 | 2月11日 | 7:13 | 2月21日 | 6:59 |
2月3日 | 7:22 | 2月13日 | 7:11 | 2月23日 | 6:57 |
2月5日 | 7:20 | 2月15日 | 7:08 | 2月25日 | 6:55 |
2月7日 | 7:17 | 2月17日 | 7:05 | 2月27日 | 6:52 |
2月9日 | 7:15 | 2月19日 | 7:02 | 2月28日 | 6:49 |
(1)從表1的日期中隨機(jī)選出一天,試估計這一天的升旗時刻早于7:00的概率;
(2)甲、乙二人各自從表2的日期中隨機(jī)選擇一天觀看升旗,且兩人的選擇相互獨(dú)立,記為這兩人中觀看升旗的時刻早于7:00的人數(shù),求的 分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)將表1和表2的升旗時刻化為分?jǐn)?shù)后作為樣本數(shù)據(jù)(如7:31化為),記表2中所有升旗時刻對應(yīng)數(shù)據(jù)的方差為,表1和表2中所有升旗時刻對應(yīng)數(shù)據(jù)的方差為,判斷與的大。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【2018百校聯(lián)盟TOP20一月聯(lián)考】函數(shù)在處的切線斜率為.
(I)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(II)設(shè), ,對任意的,存在,使得成立,求的取值范圍.
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