Question

3．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊依次為a，b，c，滿足$\frac{tanB}{tanC}$=$\frac{2a-b}$．
（1）求角C的大�。�
（2）若c=2，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知可得sinBcosBsinC=2sinAsinBcosC-sin²BcosC，又sinB≠0，可得：2sinAcosC=sinA，結(jié)合sinA≠0，可得cosC=$\frac{1}{2}$，由C∈（0，π）可得C的值．
（2）設(shè)三角形外接圓半徑為R，由正弦定理結(jié)合三角恒等變換，將三角形周長(zhǎng)化成C=4sin（A+$\frac{π}{6}$）+2，再根據(jù)A∈（0，$\frac{2π}{3}$），結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可算出△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．

解答 解：（1）∵$\frac{tanB}{tanC}$=$\frac{2a-b}$．
∴由正弦定理可得：$\frac{sinBcosC}{cosBsinC}$=$\frac{sinB}{2sinA-sinB}$，可得：sinBcosBsinC=2sinAsinBcosC-sin²BcosC，
∵B∈（0，π），sinB≠0，可得：cosBsinC=2sinAcosC-sinBcosC，
∴2sinAcosC=cosBsinC+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，
∵A∈（0，π），sinA≠0，可得：cosC=$\frac{1}{2}$，
∴由C∈（0，π），可得：C=$\frac{π}{3}$．…（3分）
（2）設(shè)三角形外接圓半徑為R，
則周長(zhǎng)C=a+b+c=2R（sinA+sinB）+2=$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$[sinA+sin（A+$\frac{π}{3}$）]+2
=$\frac{4}{\sqrt{3}}$（$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA）+2=4（sinAcos$\frac{π}{6}$+cosAsin$\frac{π}{6}$）+2
=4sin（A+$\frac{π}{6}$）+2，…（6分）
∵A∈（0，$\frac{2π}{3}$），∴A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），得4sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（2，4]，
因此，周長(zhǎng)的取值范圍為（4，6]． …（8分）

點(diǎn)評(píng) 本題給出三角形的邊角關(guān)系，求C的大小并求三角形周長(zhǎng)的取值范圍．著重考查了利用正弦定理解三角形、三角恒等變換等知識(shí)，屬于中檔題．