Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{4}$a（x-2）⁴+（x-2）²+a（x-2）（a≠0），函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱．
（1）求函數(shù)g（x）．
（2）a≥2時(shí)，求證：函數(shù)g（x）在區(qū)間（$\frac{a}{a+1}$，1）不單調(diào)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱．
設(shè)（x，y）是g（x）上任意一點(diǎn)，則函數(shù)（x，y）關(guān)于線x=1對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2-x，y），
則滿足y=$\frac{1}{4}$a（2-x-2）⁴+（2-x-2）²+a（2-x-2）=$\frac{1}{4}$ax⁴+x²-ax，即g（x）=$\frac{1}{4}$ax⁴+x²-ax，
（2）當(dāng)a≥2時(shí)，g（x）=$\frac{1}{4}$ax⁴+x²-ax，
g′（x）=ax³+2x-a，g′′（x）=3ax²+2，
當(dāng)a≥2時(shí)，g′′（x）=3ax²+2＞0恒成立，
則函數(shù)g′（x）=ax³+2x-a為增函數(shù)，
∵g′（1）=a+2-a=2＞0，
g′（$\frac{a}{a+1}$）=a•（$\frac{a}{a+1}$）³+2•$\frac{a}{a+1}$-a=a•$\frac{-{a}^{2}+a+1}{（a+1）^{3}}$=$\frac{a}{（a+1）^{3}}$[-（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$]，
∵y=[-（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$在a≥2時(shí)為減函數(shù)，∴y≤-4+2+1=-1＜0，
此時(shí)g′（$\frac{a}{a+1}$）＜0，
∴g′（x）=ax³+2x-a在（$\frac{a}{a+1}$，1）存在一個(gè)零點(diǎn)x使得g′（x）=0在（$\frac{a}{a+1}$，1）內(nèi)成立，
即函數(shù)g（x）在區(qū)間（$\frac{a}{a+1}$，1）不單調(diào)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．