6.已知圓C經(jīng)過點A(1,1)和B(4,-2),且圓心C在直線l:x+y+1=0上.
(Ⅰ)求圓C的標準方程;
(Ⅱ)設(shè)M,N為圓C上兩點,且M,N關(guān)于直線l對稱,若以MN為直徑的圓經(jīng)過原點O,求直線MN的方程.

分析 (Ⅰ)根據(jù)題意,分析可得圓C的圓心是線段AB的垂直平分線與直線l的交點,先求出線段AB的垂直平分線的方程,與直線l聯(lián)立可得圓心C的坐標,進而可得圓的半徑,即可得答案;
(Ⅱ)設(shè)以MN為直徑的圓的圓心為P,半徑為r,可以設(shè)p的坐標為(m,-1-m),結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得(m-1)2+(m-1)2+m2+(m+1)2=9,解得m的值,即可得p的坐標,分析可得直線MN的斜率為1,由直線的點斜式方程可得答案.

解答 解:(Ⅰ)∵A(1,1),B(4,-2)
∴直線AB的斜率${k_{AB}}=\frac{1+2}{1-4}=-1$…(1分)
∴直線AB的垂直平分線的斜率為1 …(2分)
又線段AB的中點坐標為$(\frac{5}{2},-\frac{1}{2})$
∴線段AB的垂直平分線的方程是$y+\frac{1}{2}=x-\frac{5}{2}$,即x-y-3=0…(3分)
∵圓心C在直線l:x+y+1=0上
∴圓心C的坐標是方程組$\left\{\begin{array}{l}x-y-3=0\\ x+y+1=0\end{array}\right.$的解,得圓心C的坐標(1,-2)…(4分)
∴圓C的半徑長$r=\sqrt{{{(1-1)}^2}+{{(1+2)}^2}}=3$…(5分)
∴圓C的標準方程是(x-1)2+(y+2)2=9…(6分)
(Ⅱ)設(shè)以MN為直徑的圓的圓心為P,半徑為r
∵M,N是圓C上的兩點,且M,N關(guān)于直線l:x+y+1=0對稱
∴點P在直線l:x+y+1=0上
∴可以設(shè)點P坐標為(m,-1-m)…(7分)
∵以MN為直徑的圓經(jīng)過原點O
∴以MN為直徑的圓的半徑長$r=|{OP}|=\sqrt{{m^2}+{{(m+1)}^2}}$…(8分)
∵MN是圓C的弦,
∴|CP|2+r2=9,即(m-1)2+(m-1)2+m2+(m+1)2=9,解得m=-1或$m=\frac{3}{2}$
∴點P坐標為(-1,0)或$(\frac{3}{2},-\frac{5}{2})$…(10分)
∵直線MN垂直直線l:x+y+1=0,
∴直線MN的斜率為1…(11分)
∴直線MN的方程為:x-y+1=0或x-y-4=0…(12分)

點評 本題考查直線與圓的方程的綜合運用,涉及直線與圓的位置關(guān)系,解題的關(guān)鍵求出圓的標準方程.

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