Question

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=PB=6，M為PC上一點(diǎn)，滿足2PM=MC．
（1）若點(diǎn)N為AB邊上的中點(diǎn)，試探究PN與平面BDM的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）求三棱錐M-BDC的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)CN，交BD于E，連結(jié)ME，則△BEN∽△DEC，于是$\frac{CE}{CN}=\frac{2}{3}$．由2PM=MC得$\frac{CM}{PC}$=$\frac{2}{3}$．故而$\frac{CE}{CN}=\frac{CM}{PC}$，得到$\frac{CE}{CN}=\frac{CM}{PC}$，推出PN∥平面BDM．
（2）由PA=PD=AD=PB=AB=6，∠BAD=60°可得三棱錐P-ABD是棱長(zhǎng)為6正四面體，求出P到底面的距離，根據(jù)$\frac{PM}{PC}=\frac{1}{3}$可得M到底面的距離，代入棱錐的體積公式計(jì)算即可．

解答 解（1）PN∥平面BDM．證明如下：
連結(jié)CN，交BD于E，連結(jié)ME，則△BEN∽△DEC，
∴$\frac{CE}{NE}=\frac{CD}{NB}=2$，∴$\frac{CE}{CN}=\frac{2}{3}$．
∵2PM=MC，∴$\frac{CM}{PC}$=$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{CE}{CN}=\frac{CM}{PC}$，
∴PN∥ME，∵M(jìn)E?平面BDM，PN?平面BDM，
∴PN∥平面BDM．
（2）過(guò)P做PF⊥平面ABCD，垂足為F，
∵PA=PD=AD=PB=AD=AB=6，∴F是△ABD的中心，
∴AF=2$\sqrt{3}$，∴PF=$\sqrt{P{A}^{2}-A{F}^{2}}$=2$\sqrt{6}$．
∴M到平面ABCD的距離d=$\frac{2}{3}$PF=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
∴三棱錐M-BDC的體積V=$\frac{1}{3}$S_△BCD•d=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×6×6×sin60°$×$\frac{4\sqrt{6}}{3}$=12$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，點(diǎn)到平面的距離計(jì)算，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．