Question

18．已知直線x=$\frac{π}{4}$與直線x=$\frac{5π}{4}$是函數(shù)$f（x）=sin（{ωx+φ}）（{ω＞0，-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}}）$的圖象的兩條相鄰的對稱軸．
（1）求ω，φ的值；
（2）若$α∈（{-\frac{3π}{4}，-\frac{π}{4}}）$，f（α）=-$\frac{4}{5}$，求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）由題意及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求函數(shù)的最小正周期T，由周期公式可求ω，由函數(shù)f（x）關(guān)于直線$x=\frac{π}{4}$對稱，可得$φ=\frac{π}{4}+kπ，k∈Z$，結(jié)合范圍$-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$，即可解得φ的值．
（2）由（1）得$sin（α+\frac{π}{4}）=-\frac{4}{5}$，由$α∈（-\frac{3π}{4}，-\frac{π}{4}）$，得$α+\frac{π}{4}∈（-\frac{π}{2}，0）$．可求$cos（α+\frac{π}{4}）=\frac{3}{5}$，利用兩角差的正弦函數(shù)公式即可求值得解．

解答 解：（1）因為直線$x=\frac{π}{4}$、$x=\frac{5π}{4}$是函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）圖象的兩條相鄰的對稱軸，
所以，函數(shù)的最小正周期T=2×$（\frac{5π}{4}-\frac{π}{4}）$=2π，從而$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{2π}=1$，
因為函數(shù)f（x）關(guān)于直線$x=\frac{π}{4}$對稱．
所以$\frac{π}{4}+φ=\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$，即$φ=\frac{π}{4}+kπ，k∈Z$．…（5分）
又因為$-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$，
所以$φ=\frac{π}{4}$．…（6分） 
（2）由（1），得$f（x）=sin（x+\frac{π}{4}）$．由題意，$sin（α+\frac{π}{4}）=-\frac{4}{5}$．…（7分）
由$α∈（-\frac{3π}{4}，-\frac{π}{4}）$，得$α+\frac{π}{4}∈（-\frac{π}{2}，0）$．
從而$cos（α+\frac{π}{4}）=\frac{3}{5}$．…（8分）
$sinα=sin[（α+\frac{π}{4}）-\frac{π}{4}]=sin（α+\frac{π}{4}）cos\frac{π}{4}-cos（α+\frac{π}{4}）sin\frac{π}{4}$，…（10分）
=$-\frac{4}{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}-\frac{3}{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=-\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$．…（12分）

點評 本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，周期公式，兩角差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．