Question

8．橢圓滿(mǎn)足這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)交點(diǎn)發(fā)射的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光先經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)，現(xiàn)設(shè)有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤(pán)，滿(mǎn)足方程$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，點(diǎn)A和B是它們的兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)靜止的小球放在點(diǎn)A處，從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的路程是2或18或20．

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知，當(dāng)靜止的小球放在點(diǎn)A處，從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，射到左頂點(diǎn)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的路程是2；射到右頂點(diǎn)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的路程是18；小球從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈到B點(diǎn)繼續(xù)前行碰橢圓壁后回到A點(diǎn)，所走的軌跡正好是兩次橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和，進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義可求得答案．

解答 解：依題意可知$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1中，a=5，b=3，c=4，設(shè)A，B分別為左、右焦點(diǎn)，
則當(dāng)靜止的小球放在點(diǎn)A處，從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，射到左頂點(diǎn)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的路程是2；
射到右頂點(diǎn)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的路程是18；
小球經(jīng)兩次橢圓壁后反彈后回到A點(diǎn)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知所走的路程正好是4a=4×5=20．
故答案為：2或18或20．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是利用了橢圓的第一定義．