Question

13．已知數(shù)列 {a_n}{b_n}滿足 a₁=b₁=1，a_n+1-a_n=$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=2，n∈N^*，則數(shù)列 {b${\;}_{{a}_{n}}$}的前10項(xiàng)和為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$（4¹⁰-1）
• B． $\frac{4}{3}$（4¹⁰-1）
• C． $\frac{1}{3}$（4⁹-1）
• D． $\frac{4}{3}$（4⁹-1）

Answer 1

分析 根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義結(jié)合題中的條件得到數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而表達(dá)出{ban}的通項(xiàng)公式并且可以證明此數(shù)列為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式計(jì)算出答案即可．

解答 解：由a_n+1-a_n=$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=2，
所以數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且公差是2，{b_n}是等比數(shù)列，且公比是2．
又因?yàn)閍₁=1，所以a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．
所以b${\;}_{{a}_{n}}$=b_2n-1=b₁•2^2n-2=2^2n-2．
設(shè)c_n=b${\;}_{{a}_{n}}$，所以c_n=2^2n-2，
所以$\frac{{c}_{n}}{{c}_{n-1}}$=4，所以數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列，且公比為4，首項(xiàng)為1．
由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式得：
其前10項(xiàng)的和為$\frac{1-{4}^{10}}{1-4}$=$\frac{1}{3}$（4¹⁰-1）．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義，以及它們的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的表示式．