Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的最小值；

（2）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）當時，設函數(shù)，若存在區(qū)間，使得函數(shù)在上的值域為，求實數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1） （2）答案不唯一，見解析 （3）

【解析】

（1）求導，接著單調(diào)區(qū)間，即可得出最小值；

（2）求導，對分類討論，可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）求出，通過分析，可得到在增函數(shù)，從而有，轉(zhuǎn)化為在上至少有兩個不同的正根，，轉(zhuǎn)化為與至少有兩個交點，即可求出實數(shù)的最大值.

（1）當時，，

這時的導數(shù)，

令，即，解得，

令得到，

令得到，

故函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

故函數(shù)在時取到最小值，

故；

（2）當時，函數(shù)

導數(shù)為，

若時，，單調(diào)遞減，

若時，，

當或時，，

當時，，

即函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，

在區(qū)間上單調(diào)遞增.

若時，，

當或時，，

當時，，

函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，

在區(qū)間上單調(diào)遞增.

綜上，若時，函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間，

若時，函數(shù)的減區(qū)間為，，增區(qū)間為，

若時，函數(shù)的減區(qū)間為，，增區(qū)間為.

（3）當時，設函數(shù).

令，，

當時，，為增函數(shù)，

，為增函數(shù)，

在區(qū)間上遞增，

∵在上的值域是，

所以在上至少有兩個不同

的正根，，

令，求導得，，

令，

則，

所以在遞增，，，

當，，∴，

當，，∴，

所以在上遞減，在上遞增，

∴，∴，

∴的最大值為.