【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)設(shè)曲線與軸正半軸交于點,求曲線在該點處的切線方程;
(Ⅱ)設(shè)方程有兩個實數(shù)根,,求證:
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見解析
【解析】
(Ⅰ)首先求出函數(shù)與軸正半軸交于點,求出函數(shù)的導函數(shù)即可得到即切線的斜率,最后利用點斜式求切線方程;
(Ⅱ)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,不妨設(shè),則.首先證明:當時,,要證,只要證,即證.又,只要證,即證.令
利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從而得到,即可得證;
解:(Ⅰ)由,得.∴,即函數(shù)與軸正半軸交于點,
又因為.
∴.,
∴曲線在點處的切線方程為.
(Ⅱ)令得或.
且當或時;當時,.
∴的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,.
當或時;當時,.
不妨設(shè),則.
下面證明:當時,.
當時,.
易知在上單調(diào)遞增,
∴,即當時,.
由得.
記.
則.
要證,
只要證,即證.
又∵,∴只要證,即證.
∵,即證.
令,則.
當時,.為單調(diào)遞減函數(shù);
當時,.為單調(diào)遞增函數(shù).
∴,∴.
∴.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+1|﹣|2x﹣2|的最大值為M,正實數(shù)a,b滿足a+b=M.
(1)求2a2+b2的最小值;
(2)求證:aabb≥ab.
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線:(α為參數(shù))經(jīng)過伸縮變換得到曲線,在以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,直線l的極坐標方程為.
(1)求曲線的普通方程;
(2)設(shè)點P是曲線上的動點,求點P到直線l距離d的最大值.
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【題目】已知函數(shù),,且與的圖象有一條斜率為1的公切線(e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求;
(2)設(shè)函數(shù),證明:當時,有且僅有2個零點.
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【題目】如圖,在極坐標系中,,,弧,,所在圓的圓心分別為,,,曲線是弧,曲線是弧,曲線是弧.
(1)寫出曲線,,的極坐標方程;
(2)曲線由,,構(gòu)成,若曲線的極坐標方程為(,,,),寫出曲線與曲線的所有公共點(除極點外)的極坐標.
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【題目】某校高三男生體育課上做投籃球游戲,兩人一組,每輪游戲中,每小組兩人每人投籃兩次,投籃投進的次數(shù)之和不少于次稱為“優(yōu)秀小組”.小明與小亮同一小組,小明、小亮投籃投進的概率分別為.
(1)若,,則在第一輪游戲他們獲“優(yōu)秀小組”的概率;
(2)若則游戲中小明小亮小組要想獲得“優(yōu)秀小組”次數(shù)為次,則理論上至少要進行多少輪游戲才行?并求此時的值.
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【題目】2019年4月25日-27日,北京召開第二屆“一帶一路”國際高峰論壇,組委會要從6個國內(nèi)媒體團和3個國外媒體團中選出3個媒體團進行提問,要求這三個媒體團中既有國內(nèi)媒體團又有國外媒體團,且國內(nèi)媒體團不能連續(xù)提問,則不同的提問方式的種數(shù)為 ( )
A. 198B. 268C. 306D. 378
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