Question

7．四棱錐P-ABCD，PD⊥平面ABCD，2AD=BC=2a（a＞0），$AD∥BC，PD=\sqrt{3}a$，∠DAB=θ
（I）如圖1，若θ=60°，AB=2a，Q為PB的中點(diǎn)，求證：DQ⊥PC；
（Ⅱ）如圖2，若θ=90°，AB=a，求平面PAD與平面PBC所成二面角的大小．
（若非特殊角，求出所成角余弦即可）

Answer 1

分析 （Ⅰ） 連結(jié)BD，推導(dǎo)出BD⊥AD，BC⊥BD，BC⊥PD，從而BC⊥平面PBD，進(jìn)而平面PBD⊥平面PBC，再推導(dǎo)出DQ⊥PB，從而DQ⊥平面PBC，由此能證明DQ⊥PC
（Ⅱ）取BC中點(diǎn)M，則ABMD為矩形，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)分別以DA，DM，DP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，利用向量法能求出平面PAD與平面PBC所成二面角．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ） 連結(jié)BD，△ABD中，AD=a，AB=2a，∠DAB=60°，
由余弦定理：BD²=DA²+AB²-2DA•ABcos60°，解得$BD=\sqrt{3}a$
所以△ABD為直角三角形，BD⊥AD，
因?yàn)锳D∥BC，所以BC⊥BD，又因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以BC⊥PD，
因?yàn)镻D∩BD=D，所以BC⊥平面PBD，
BC?平面PBC，所以平面PBD⊥平面PBC，
又因?yàn)?PD=BD=\sqrt{3}a$，Q為PB中點(diǎn)，所以DQ⊥PB，
因?yàn)槠矫鍼BD∩平面PBC=PB，所以DQ⊥平面PBC，
PC?平面PBC，所以DQ⊥PC．…（6分）
（Ⅱ）∵θ=90°，AB=a，∴$BD=CD=\sqrt{2}a$，
取BC中點(diǎn)M，則ABMD為矩形，
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)分別以DA，DM，DP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
A（a，0，0），B（a，a，0），
DM⊥平面PAD，所以面$\overrightarrow{DM}$是平面PAD的法向量，$\overrightarrow{DM}=（0，a，0）$，
設(shè)平面PBC的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
$P（0，0，\sqrt{3}a），B（a，a，0），C（-a，a，0）$，
所以$\overrightarrow{PB}=（a，a，-\sqrt{3}a），\overrightarrow{BC}=（-2a，0，0）$，
$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{PB}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=0\end{array}\right.$，令z=1，得$\left\{\begin{array}{l}ax+ay-\sqrt{3}a=0\\-2ax=0\end{array}\right.$，解得：$\overrightarrow n=（0，\sqrt{3}，1）$，
所以$cosθ=\frac{{\overrightarrow{DM}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{DM}||\overrightarrow n|}}=\frac{{\sqrt{3}a}}{2a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
所以平面PAD與平面PBC所成二面角為$\frac{π}{6}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．