Question

13．如圖，已知多面體ABCDEF中，ABCD為正方形，EF∥平面ABCD，M為FC的中點(diǎn)，AB=2，EF到平面ABCD的距離為2．
（1）證明：AF∥平面MBD；
（2）若AF⊥BD，點(diǎn)F在平面ABCD上的射影為點(diǎn)C，求二面角M-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接AC，設(shè)AC與BD交于O點(diǎn)，則OM∥AF，由此能證明AF∥平面MBD．
（2）由OM∥AF，得OM⊥BD，又AC⊥BD，從而∠COM就是二面角M-BD-C的平面角．由此能求出二面角M-BD-C的余弦值．

解答 解：（1）證明：連接AC，設(shè)AC與BD交于O點(diǎn)，
在正方形ABCD中，O為AC的中點(diǎn)，
∵M(jìn)是FC的中點(diǎn)，∴OM∥AF，
∵AF?平面MBD，OM⊆平面MBD，
∴AF∥平面MBD．
（2）由（1）知OM∥AF，
∵AF⊥BD，∴OM⊥BD，
又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠COM就是二面角M-BD-C的平面角．
$MC=\frac{1}{2}FC=1$，
在正方形ABCD中，$OC=\sqrt{2}，OM=\sqrt{O{C^2}+C{M^2}}=\sqrt{{{（{\sqrt{2}}）}^2}+{1^2}}=\sqrt{3}$，
∴$cos∠MOC=\frac{OC}{OM}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
∴二面角M-BD-C的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．