Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=|$\frac{1}{2}$x+1|+|x|（x∈R）的最小值為a．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）已知兩個正數(shù)m，n滿足m²+n²=a，求$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值．

Answer 1

分析 （I）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}x-1，x＜-2}\\{-\frac{1}{2}x+1，-2≤x≤0}\\{\frac{3}{2}x+1，x＞0}\end{array}\right.$，利用一次函數(shù)的單調(diào)性即可得出a．
（II）由（I）可知：m²+n²=1，利用基本不等式的性質(zhì)可得：1≥2mn，由于m，n＞0，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值．

解答 解：（I）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}x-1，x＜-2}\\{-\frac{1}{2}x+1，-2≤x≤0}\\{\frac{3}{2}x+1，x＞0}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)x＜-2時，f（x）＞f（-2）=2；
當(dāng)-2≤x≤0時，f（x）＞f（0）=1；
當(dāng)x＞0時，f（x）＞f（0）=1．
綜上可得：函數(shù)f（x）的最小值為1，∴a=1．
（II）由（I）可知：m²+n²=1，
∴1≥2mn，∴$mn≤\frac{1}{2}$．
∵m，n＞0，∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$≥2$\sqrt{\frac{1}{mn}}$≥2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取等號．
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值為2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了分段函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法與推理能力，屬于中檔題．