Question

13．已知函數(shù)f（x）=e^x（ax²-2x+2），其中a＞0．
（1）若曲線y=f（x）在x=2處的切線與直線x+e²y-1=0垂直，求實(shí)數(shù)a的值．
（2）討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，運(yùn)用兩直線垂直的條件可得a的方程，可得a的值；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，分解因式，討論a=1，0＜a＜1，a＞1，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=e^x（ax²-2x+2）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x[ax²+2（a-1）x]，
由于在x=2處的切線與直線x+e²y-1=0垂直，
即有e²（8a-4）=e²，解得a=$\frac{5}{8}$；
（2）∵f′（x）=e^x[ax²+2（a-1）x]=ae^x•x（x-$\frac{2（1-a）}{a}$），
當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=e^x•x²≥0，f（x）在R上遞增；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，$\frac{2（1-a）}{a}$＞0，則f′（x）＞0，可得x＞$\frac{2（1-a）}{a}$，或x＜0，
f′（x）＜0，可得0＜x＜$\frac{2（1-a）}{a}$，
即有f（x）的減區(qū)間為（0，$\frac{2（1-a）}{a}$），增區(qū)間為（-∞，0），（$\frac{2（1-a）}{a}$，+∞）；
當(dāng)a＞1時(shí)，$\frac{2（1-a）}{a}$＜0，則f′（x）＞0，可得x＜$\frac{2（1-a）}{a}$，或x＞0，
f′（x）＜0，可得$\frac{2（1-a）}{a}$＜x＜0，
即有f（x）的減區(qū)間為（$\frac{2（1-a）}{a}$，0），增區(qū)間為（-∞，$\frac{2（1-a）}{a}$），（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．