Question

18．求函數(shù)f（x）=$\sqrt{12+{2}^{x}-{4}^{x}}$的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 利用換元法，結合一元二次函數(shù)和復合函數(shù)單調(diào)性之間的關系即可得到結論．

解答 解：設t=12+2^x-4^x=-（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{49}{4}$，
由t=12+2^x-4^x=-（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{49}{4}$≥0，
則（2^x-$\frac{1}{2}$）²≤$\frac{49}{4}$，
即$-\frac{7}{2}$≤2^x-$\frac{1}{2}$≤$\frac{7}{2}$，
即即-3≤2^x≤4，
即x≤2，
由2^x=$\frac{1}{2}$得x=-1，
則當x≤-1時，2^x≤$\frac{1}{2}$，此時函數(shù)t=-（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{49}{4}$為增函數(shù)，則y=$\sqrt{t}$為增函數(shù)，此時函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1]，
則當-1≤x≤2時，2^x≥$\frac{1}{2}$，此時函數(shù)t=-（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{49}{4}$為減函數(shù)，則y=$\sqrt{t}$為增函數(shù)，此時函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-1，2]．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，利用換元法，結合復合函數(shù)單調(diào)性之間的關系是解決本題的關鍵．