Question

3．如圖，△ABC與△BCD都是邊長為2的正三角形，AD=$\sqrt{6}$，PA⊥平面ABC
（1）求證：PA∥平面BCD；
（2）若PA=2$\sqrt{3}$，求平面ABC與平面PBD所成的二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取CB的中點F，連接AF，DF，證明DF⊥平面ABC，利用PA⊥平面ABC，可得PA∥DF，即可證明PA∥平面BCD；
（2）延長AF與PD延長線交于點E，連CO，則EO是平面ABC與面PCD的交線，F(xiàn)是BAE的中點，作FO⊥BE，連接DO，則∠DOF為平面ABC與平面PBD所成二面角的平面角，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：取CB的中點F，連接AF，DF，則AF=DF=$\sqrt{3}$，
∵AD=$\sqrt{6}$，
∴AF²+DF²=AD²，
∴AF⊥DF，
∵DF⊥BC，AF∩平面BC=F，
∴DF⊥平面ABC，
∵PA⊥平面ABC，
∴PA∥DF，
∵PA?平面BCD，DF?平面BCD，
∴PA∥平面BCD；
（2）解：延長AF與PD延長線交于點E，連CO，
則EO是平面ABC與面PCD的交線，F(xiàn)是BAE的中點，
作FO⊥BE，連接DO，則∠DOF為平面ABC與平面PBD所成二面角的平面角
在△DOF中，DF=$\sqrt{3}$，OF=1，DO=2
∴平面ABC與平面PBD所成二面角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查PA∥平面BCD，證求平面ABC與平面PBD所成的二面角的正弦值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．