Question

7．如圖4，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°．PA⊥平面ABCD，E為PC中點．
（Ⅰ）求證：平面BED⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面PBA與平面EBD所成二面角（銳角）的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明面面垂直一般利用面面垂直的判定定理故可連接EO可利用中位線定理證得EO∥PC再結合PC⊥平面ABCD可得EO⊥平面ABCD即可得證．
（Ⅱ）過B作BM⊥平面ABCD，連結PM，ME，說明∠ABO計算平面PBA與平面EBD所成二面角的平面角，利用已知條件求出角的大小，即可求解余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：連結AC交BD于點O，連結OE，則O是AC的中點．
又知E是AP中點
∴EO∥PC，
∵PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD．
又知OE?平面BDE，
∴平面EBD⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：過B作BM⊥平面ABCD，連結PM，ME，如圖，
由（Ⅰ）可知，PA∥EO∥MB，
則MB是平面PBA與平面EBD的交線，可得MB⊥AB，MB⊥BO，
∠ABO計算平面PBA與平面EBD所成二面角的平面角，
四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°．可知：∠ABO=30°
cos∠ABO=cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
平面PBA與平面EBD所成二面角（銳角）的余弦值：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查PA⊥平面ABCD的證明，考查二面角A-PB-C的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．