Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+cos（2x-$\frac{π}{6}$）．
（Ⅰ）求f（$\frac{π}{6}$）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知表達式，直接求解f（$\frac{π}{6}$）的值；
（Ⅱ）化簡函數(shù)的表達式，利用函數(shù)f（x）的周期公式求解，通過正弦函數(shù)的單調遞增區(qū)間求解即可．

解答 解：（Ⅰ）因為f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+cos（2x-$\frac{π}{6}$）．
所以f（$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$sin（2×$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）+cos（2×$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）
=$\sqrt{3}sin\frac{π}{6}+cos\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$-------------------------（4分）
（Ⅱ）因為f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+cos（2x-$\frac{π}{6}$）．
所以f（x）=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{π}{6}$））
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）
=2sin2x．--------------（8分）
所以周期T=$\frac{2π}{2}$=π．--------------------------（10分）
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x≤2kπ+\frac{π}{2}$，--------------------------（11分）
解得$kπ-\frac{π}{4}≤x≤kπ+\frac{π}{4}$，k∈Z．
所以f（x）的單調遞增區(qū)間為$[kπ-\frac{π}{4}，kπ+\frac{π}{4}]$，k∈Z．--------------------------（13分）

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值，兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的正確的求法，得到求解的求法，考查計算能力．