Question

7．若曲線(xiàn)f（x）=x⁴-2x在點(diǎn)P處的切線(xiàn)垂直于直線(xiàn)x+2y+1=0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1）．

Answer 1

分析 求出已知直線(xiàn)的斜率，由兩直線(xiàn)垂直的條件可得切線(xiàn)的斜率，求出f（x）=x⁴-2x的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)P的坐標(biāo)，可得切線(xiàn)的斜率，解方程可得切點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：曲線(xiàn)f（x）=x⁴-2x在點(diǎn)P處的切線(xiàn)垂直于直線(xiàn)x+2y+1=0，
直線(xiàn)x+2y+1=0的斜率為-$\frac{1}{2}$，
可得曲線(xiàn)f（x）=x⁴-2x在點(diǎn)P處的切線(xiàn)的斜率k=2．
函數(shù)f（x）=x⁴-2x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=4x³-2，
設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
將x=x₀代入f′（x）=4x³-2，
由4${{x}_{0}}^{3}$-2=2，
解得x₀=1．
y₀=f（1）=-1．
則P（1，-1）．
故答案為：（1，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程，要理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查兩直線(xiàn)垂直的條件：斜率之積為-1，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．