Question

7．若曲線f（x）=x⁴-2x在點P處的切線垂直于直線x+2y+1=0，則點P的坐標為（1，-1）．

Answer 1

分析 求出已知直線的斜率，由兩直線垂直的條件可得切線的斜率，求出f（x）=x⁴-2x的導數(shù)，設出切點P的坐標，可得切線的斜率，解方程可得切點的坐標．

解答 解：曲線f（x）=x⁴-2x在點P處的切線垂直于直線x+2y+1=0，
直線x+2y+1=0的斜率為-$\frac{1}{2}$，
可得曲線f（x）=x⁴-2x在點P處的切線的斜率k=2．
函數(shù)f（x）=x⁴-2x的導數(shù)為f′（x）=4x³-2，
設點p的坐標為（x₀，y₀），
將x=x₀代入f′（x）=4x³-2，
由4${{x}_{0}}^{3}$-2=2，
解得x₀=1．
y₀=f（1）=-1．
則P（1，-1）．
故答案為：（1，-1）．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，要理解導數(shù)的幾何意義，同時考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查運算能力，屬于基礎題．