Question

18．已知函數(shù)f（x）=（x-k-1）e^x．
（Ⅰ）當(dāng)x＞0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），證明：x₁+x₂＜2k．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論k的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）不妨設(shè)x₁＜k＜x₂＜k+1，問題轉(zhuǎn)化為證明2k-x₁＞x₂，即證f（2k-x₁）＞f（x₂），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f'（x）=（x-k）e^x，x＞0．（1分）
（i）當(dāng)k≤0時(shí)，f'（x）＞0恒成立，
∴f（x）的遞增區(qū)間是（0，+∞），無遞減區(qū)間；無極值．（3分）
（ii）當(dāng)k＞0時(shí)，由f'（x）＞0得，x＞k；由f'（x）＜0得，0＜x＜k；
∴f（x）的遞減區(qū)間是（0，k），遞増區(qū)間是（k，+∞），f（x）的極小值為f（k）=-e^k，無極大值．（5分）
（Ⅱ）由已知f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂），
結(jié)合（Ⅰ）可知，k＞0，f（x）在（-∞，k）上單調(diào)遞減，在（k，+∞）上單調(diào)遞增，
又f（k+1）=0，x＜k+1時(shí)，f（x）＜0．…（6分）
不妨設(shè)x₁＜k＜x₂＜k+1，
此時(shí)x₂＞k，2k-x₁＞k，
故要證x₁+x₂＜2k，只要證2k-x₁＞x₂，
只要證f（2k-x₁）＞f（x₂），
因f（x₁）=f（x₂），即證f（2k-x₁）＞f（x₁）．（8分）
設(shè)g（x）=f（2k-x）-f（x）=$\frac{{（-x+k-1）{e^{2k}}}}{e^x}\;-（x-k-1）{e^x}\;（x＜k）$，
$g'（x）=\frac{{（x-k）{e^{2k}}}}{e^x}-（x-k）{e^x}$=$\frac{{（x-k）（{e^{2k}}-{e^{2x}}\;）}}{{{e^x}\;}}$，（9分）
∴當(dāng)x＜k時(shí)，g'（x）＜0，g（x）在（-∞，k）上單調(diào)遞減，（10分）
∴x∈（-∞，k）時(shí)，g（x）＞g（k）=-e^k+e^k=0，（11分）
故當(dāng)x＜k時(shí)，f（2k-x）＞f（x），即f（2k-x₁）＞f（x₁）成立，
∴x₁+x₂＜2k．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基本知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程的思想、分類整合思想、數(shù)形結(jié)合思想．