Question

4．將圖①所示的直角梯形ABEF（圖中數(shù)字表示對應線段的長度）沿直線CD折成直二面角，連接部分線段后圍成空間幾何體ABCDFE，如圖②所示．
（I）證明BE∥平面ADF；
（Ⅱ）求空間幾何體ABCDFE的表面積．

Answer 1

分析 （I）取PD的中點N，連接EN，證明BE∥AN，即可證明BE∥平面ADF；
（Ⅱ）空間幾何體ABCDFE中，分別求出幾個面的面積，再求面積和即可．

解答 解：（I）證明：取PD的中點N，連接EN，
∵EC⊥CD，ND⊥CD，CE=DN，∴四邊形CDNE為正方形，
∴EN∥CD∥AB，EN=CD=AB                            
∴四變形ABNE為平行四邊形，∴BE∥AN，∵AN?平面ADF，
∴BE∥平面ADF；
（Ⅱ）空間幾何體ABCDFE中，S_{正方形ABCD}=1×1=1，
S_{直角梯形DCEF}=$\frac{1}{2}$×（1+2）×1=$\frac{3}{2}$，
S_△ADF=$\frac{1}{2}$×1×2=1，
S_△ABF=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{{1}^{2}{+2}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
S_△BCE=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，
△BEF中，BE=$\sqrt{2}$，BF=$\sqrt{{2}^{2}{+（\sqrt{2}）}^{2}}$=$\sqrt{6}$，EF=$\sqrt{2}$，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{6}$×$\sqrt{{（\sqrt{2}）}^{2}{-（\frac{\sqrt{6}}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴空間幾何體ABCDFE的表面積為
S=S_{正方形ABCD}+S_{直角梯形DCEF}+S_△ADF+S_△ABF+S_△BCE+S_△BEF
=1+$\frac{3}{2}$+1+$\frac{\sqrt{5}}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4+$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了折疊問題，解題時要分析折疊前、后的位置關系、幾何量的變與不變，應畫好圖形，正確識圖；另外解決空間問題的基本思路是利用轉(zhuǎn)化思想，一是空間問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，二是平行、垂直關系中線線、線面與面面關系的互相轉(zhuǎn)化，是綜合性題目．