Question

10．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABD=30°，AB=2CD=2AD=2$\sqrt{3}$，DE⊥面ABCD，EF∥BD，且EF=$\frac{2}{3}$BD．
（1）求證：FB∥面ACE；
（2）若CF與面ABCD所成角的正切為$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，求三棱錐F-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC交BD于O，連接EO，證明四邊形BOEF為平行四邊形，可得EO∥FB，利用線面平行的判定定理證明FB∥面ACE；
（2）過F作FM∥ED，交DB于M，連接CM，利用ED⊥平面ABCD，F(xiàn)M⊥平面ABCD，可得∠FCM為FC與面ABCD所成的角，利用等體積求三棱錐F-ABC的體積．

解答 （1）證明：設(shè)AC交BD于O，連接EO，在△ABD中，由余弦定理可得：DB=3．
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥DB，
∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD．
∴$\frac{BO}{DO}=\frac{AB}{CD}=2$，∴$BO=\frac{2}{3}BD=EF$，
又EF∥BD，∴四邊形BOEF為平行四邊形．
∴EO∥FB．
又∵EO?面ACE，F(xiàn)B?面ACE，
∴FB∥面ACE．

（2）解：過F作FM∥ED，交DB于M，連接CM，
∵ED⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，
∴∠FCM為FC與面ABCD所成的角，
易知DM=EF=2
在△DCM中，由余弦定理可得CM=1
∴$tan∠FCM=\frac{FM}{CM}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，∴$FM=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．
∵DC∥AB，
∴${S_{△ABC}}={S_{△ABD}}=\frac{1}{2}DA•DB=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×3=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$
∴${V_{F-ABC}}={V_{F-ABD}}=\frac{1}{3}{S_{△ADB}}•FM=\frac{1}{3}×\frac{{3\sqrt{3}}}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{4}=\frac{{\sqrt{6}}}{8}$．

點評 本題考查線面平行的判定，考查三棱錐體積的計算，正確轉(zhuǎn)換底面是關(guān)鍵．