Question

19．求解下列關(guān)于x的不等式：（1）x²-2x+a≤0；（2）2x²-ax+2a＜0．

Answer 1

分析 （1）△=4-4a，對(duì)△與0的大小關(guān)系，解出相應(yīng)的一元二次方程的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而得出一元二次不等式的解集．
（2）△=a²-16a，對(duì)△與0的大小關(guān)系，解出相應(yīng)的一元二次方程的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而得出一元二次不等式的解集．

解答 解：（1）△=4-4a，
①由△=0，解得a=1，x²-2x+1≤0，即（x-1）²≤0，解得x=1，
∴不等式的解集為{1}．
②由△＜0，解得a＞1，不等式的解集為∅．
③由△＞0，解得a＜1，方程x²-2x+a=0，解得x=$\frac{2±2\sqrt{1-a}}{2}$=1$±\sqrt{1-a}$，
∴不等式的解集為{x|$1-\sqrt{1-a}$≤x≤1+$\sqrt{1-a}$}．
綜上可得：①a=1，不等式的解集為{1}．
②a＞1，不等式的解集為∅．
③a＜1，不等式的解集為{x|$1-\sqrt{1-a}$≤x≤1+$\sqrt{1-a}$}．
（2）△=a²-16a，
①由△=0，解得a=0或16，
a=0時(shí)，不等式化為：2x²＜0，不等式的解集為∅．
a=16時(shí)，不等式化為：（x-4）²＜0，不等式的解集為∅．
②由△＜0，解得0＜a＜16，不等式的解集為∅．
③由△＞0，解得a＜0或a＞16，方程2x²-ax+2a=0，
解得x=$\frac{a±\sqrt{{a}^{2}-16a}}{4}$，不等式的解集為{x|$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-16a}}{4}$＜x＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-16a}}{4}$}．
綜上可得：①a=0或16，不等式的解集為∅．
②0＜a＜16，不等式的解集為∅．
③a＜0或a＞16，不等式的解集為{x|$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-16a}}{4}$＜x＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-16a}}{4}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．