Question

2．如圖，已知P是以F₁（-1，0）為圓心，以4為半徑的圓上的動點，P與F₂（1，0）所連線段的垂直平分線與線段PF₁交于點M．
（Ⅰ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）已知點E坐標為（4，0），并且傾斜角為銳角的直線l經(jīng)過點F₂（1，0）并且與曲線C相交于A，B兩點，
（�。┣笞C：∠AEF₂=∠BEF₂；
（ⅱ）若cos∠AEB=$\frac{7}{9}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設M（x，y），M在線段PF₂的垂直平分線上，|MP|=|MF₂|，可得|MF₁|+|MF₂|=|MF₁|+|MP|=4＞|F₁F₂|．M的軌跡為以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓，設橢圓的方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，由題意可求得a、b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）（�。┰O出直線AB的方程，將直線方程代入橢圓方程，得到關于x的一元二次方程，由韋達定理求得x₁+x₂及x₁•x₂，分別求得k_AE及k_BE，由k_AE+k_BE=0，即可求得∠AEF₂=∠BEF₂；
（ⅱ）由cos∠AEB=$\frac{7}{9}$，求得tan∠AEB，由$\frac{y_1}{{{x_1}-4}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，

解答 解：（Ⅰ）設M（x，y），則因為M在線段PF₂的垂直平分線上，
所以|MP|=|MF₂|，
所以|MF₁|+|MF₂|=|MF₁|+|MP|=4＞|F₁F₂|．
即M的軌跡為以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓，…（2分）
其長半軸為a=2，半焦距為c=1，
所以短半軸$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=\sqrt{3}$．
所以C的方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
（Ⅱ）（�。┳C明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=k（x-1），
則$\left\{\begin{array}{l}3{x^2}+4{y^2}=12\\ y=k（x-1）\end{array}\right.\;⇒（3+4{k^2}）{x^2}-8{k^2}x+4{k^2}-12=0$，
${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$．
則${k_{AE}}=\frac{y_1}{{{x_1}-4}}$，${k_{BE}}=\frac{y_2}{{{x_2}-4}}$．…（6分）
所以${k_{AE}}+{k_{BE}}=\;\;\frac{y_1}{{{x_1}-4}}\;+\frac{y_2}{{{x_2}-4}}\;=\frac{{k（{x_1}-1）}}{{{x_1}-4}}\;+\frac{{k（{x_2}-1）}}{{{x_2}-4}}$，
=$\frac{{k（{x_1}-1）（{x_2}-4）+k（{x_2}-1）（{x_1}-4）}}{{（{x_1}-4）（{x_2}-4）}}=\;\;\frac{{k[2{x_1}{x_2}-5（{x_1}+{x_2}）+8]}}{{（{x_1}-4）（{x_2}-4）}}=0$．
即∠AEF₂=∠BEF₂．…（8分）
（ⅱ）因為$cos∠AEB=\frac{7}{9}$，
所以$tan∠AE{F_2}=tan∠BE{F_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，不妨設點A在第一象限，
則$\frac{y_1}{{{x_1}-4}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，$\frac{y_2}{{{x_2}-4}}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
所以$\frac{{{y_1}^2}}{{{{（{x_1}-4）}^2}}}=\frac{1}{8}$，$\frac{{{y_2}^2}}{{{{（{x_2}-4）}^2}}}\;=\frac{1}{8}$；
即$\left\{\begin{array}{l}{（{x_1}-4）^2}=8{y_1}^2\\{（{x_2}-4）^2}=8{y_2}^2\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{（{x_1}-4）^2}=8•3（1-\frac{{{x_1}^2}}{4}）\\{（{x_2}-4）^2}=8•3（1-\frac{{{x_2}^2}}{4}）\end{array}\right.$…（10分）
所以x₁，x₂是方程${（x-4）^2}=8•3（1-\frac{x^2}{4}）$，
即方程7x²-8x-8=0的兩個根，
所以${x_1}+{x_2}=\frac{8}{7}$，${x_1}{x_2}=-\frac{8}{7}$，
所以$\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}=\frac{8}{7}$，k²=1．又傾斜角為銳角，
所以k＞0，所以直線AB的方程為y=x-1．…（12分）

點評 本題考查橢圓標準方程的求法、直線與橢圓的位置關系及其應用，韋達定理及弦長公式，考查轉(zhuǎn)化思想及運算能力，屬于中檔題．