Question

3．某小學(xué)對五年級的學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測試，已知五年一班共有學(xué)生30人，測試立定跳遠(yuǎn)的成績用莖葉圖表示如圖（單位：cm）：
男生成績在175cm以上（包括175cm）定義為“合格”，成績在175cm以下（不包括175cm）定義為“不合格”．
女生成績在165cm以上（包括165cm）定義為“合格”，成績在165cm以下（不包括165cm）定義為“不合格”．
（Ⅰ）求五年一班的女生立定跳遠(yuǎn)成績的中位數(shù)；
（Ⅱ）在五年一班的男生中任意選取3人，求至少有2人的成績是合格的概率；
（Ⅲ）若從五年一班成績“合格”的學(xué)生中選取2人參加復(fù)試，用X表示其中男生的人數(shù)，寫出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）由莖葉圖能求出五年一班的女生立定跳遠(yuǎn)成績的中位數(shù)．
（II）設(shè)“僅有兩人的成績合格”為事件A，“有三人的成績合格”為事件B，至少有兩人的成績是合格的概率：P=P（A）+P（B），由此能求出至少有2人的成績是合格的概率．
（III）因為女生共有18人，其中有10人合格，依題意，X的取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和X的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（I）由莖葉圖得五年一班的女生立定跳遠(yuǎn)成績的中位數(shù)為$\frac{165+168}{2}=166.5$cm．…（2分）
（II）設(shè)“僅有兩人的成績合格”為事件A，“有三人的成績合格”為事件B，
至少有兩人的成績是合格的概率：P=P（A）+P（B），
又男生共12人，其中有8人合格，從而$P（A）=\frac{C_4^1•C_8^2}{{C{\;}_{12}^3}}$，（4分）
$P（B）=\frac{C_8^3}{{C{\;}_{12}^3}}$，所以$p=\frac{42}{55}$．（6分）
（III）因為女生共有18人，其中有10人合格，
依題意，X的取值為0，1，2．
則$P（X=0）=\frac{{C_8^0C_{10}^2}}{{C_{18}^2}}=\frac{5}{17}$，
$P（X=1）=\frac{{C_8^1C_{10}^1}}{{C_{18}^2}}=\frac{80}{153}$，
$P（X=2）=\frac{{C_8^2C_{10}^0}}{{C_{18}^2}}=\frac{28}{153}$，
（每項1分）（10分）
因此，X的分布列如下：

X	0	1	2
P	$\frac{5}{17}$	$\frac{80}{153}$	$\frac{28}{153}$

∴$E（X）=0×\frac{5}{17}+1×\frac{80}{153}+2×\frac{28}{153}=\frac{136}{153}=\frac{8}{9}$（人）．（未化簡不扣分）（12分）
（或是，因為X服從超幾何分布，所以$E（X）=2×\frac{8}{18}=\frac{8}{9}$（人）．

點評 本題考查中位數(shù)、概率、分布列的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運用．