Question

14．已知遞增的等比數(shù)列{a_n}滿足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=log₂a_2n，S_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求使S_n＞40+4n成立的正整數(shù)n的最小值．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞1）利用a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)可知2（a₃+2）=a₂+a₄，結(jié)合a₂+a₃+a₄=28可知a₃=8，再次利用a₂+a₃+a₄=28計(jì)算可知q=2，通過(guò)公式a_n=a₃•q^n-3計(jì)算即得結(jié)論；
（2）由（1）可知b_n=2n，利用等差數(shù)列的求和公式計(jì)算可知S_n=n²+n，進(jìn)而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求不等式n²+n＞40+4n的最小正整數(shù)，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則q＞1，
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，
又∵a₂+a₃+a₄=28，
∴2（a₃+2）=28-a₃，
解得：a₃=8，
∴$\frac{8}{q}$+8+8q=28，整理得：2q²-5q+2=0，
解得：q=2或q=$\frac{1}{2}$（舍），
∴a_n=a₃•q^n-3=2ⁿ；
（2）由（1）可知b_n=log₂a_2n=2n，
則S_n=2•$\frac{n（n+1）}{2}$=n²+n，
∴S_n＞40+4n等價(jià)于n²+n＞40+4n，
整理得：n²-3n-40＞0，
解得：n＞8或n＜-5（舍），
于是滿足條件的正整數(shù)n的最小值為9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．