Question

6．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₂作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為H，若△HF₁F₂的面積為a²，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 設(shè)過F（c，0）與一條漸近線bx-ay=0垂直的直線為l，則l的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），與bx-ay=0聯(lián)立可得H的坐標(biāo)，利用△HF₁F₂的面積為a²，可得$\frac{1}{2}×2c×\frac{ab}{c}$=a²，即可求出雙曲線離心率．

解答 解：設(shè)過F（c，0）與一條漸近線bx-ay=0垂直的直線為l，則l的方程為y=-$\frac{a}$（x-c）
與bx-ay=0聯(lián)立可得H（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$）
因?yàn)椤鱄F₁F₂的面積為a²，所以$\frac{1}{2}×2c×\frac{ab}{c}$=a²，
所以a=b，
所以c=$\sqrt{2}$a，
所以e=$\sqrt{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線離心率，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定M的坐標(biāo)是關(guān)鍵．