Question

19．已知F₁，F(xiàn)₂為雙曲線C：x²-y²=2的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在曲線C上，|PF₁|=3|PF₂|，則S${\;}_{△{F}_{1}{PF}_{2}}$=（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合|PF₁|=3|PF₂|，利用余弦定理，求cos∠F₁PF₂的值，可得sin∠F₁PF₂，再利用面積公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：將雙曲線方程x²-y²=2化為標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，則a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，c=2，
設(shè)|PF₁|=3|PF₂|=3m，則根據(jù)雙曲線的定義，|PF₁|-|PF₂|=2a可得m=$\sqrt{2}$，
∴|PF₁|=3$\sqrt{2}$，|PF₂|=$\sqrt{2}$，
∵|F₁F₂|=2c=4，
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{18+2-16}{2×3\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$
∴sin∠F₁PF₂=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴S${\;}_{△{F}_{1}{PF}_{2}}$=$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=2$\sqrt{2}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查雙曲線的定義，考查余弦定理的運(yùn)用，三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．