Question

15．如圖（1），在三角形PCD中，AB為其中位線，且2BD=PC=2$\sqrt{6}$，CD=2$\sqrt{2}$，若沿AB將三角形PAB折起，使∠PAD=120°，構成四棱錐P-ABCD，如圖（2），E和F分別是棱CD和PC的中點，
（1）求證：平面BEF⊥平面PCD；
（2）求平面PBC與平面PAD所成的二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）求出AD⊥CD，證明CD∥平面PAD，而平面PAD∥平面BEF，即可得出CD⊥平面BEF，于是平面BEF⊥平面PCD；
（2）以A為原點建立坐標系，求出兩平面的法向量，則平面PBC與平面PAD所成的二面角的余弦值等于法向量的夾角余弦值的絕對值．

解答 證明：（1）∵PC=2BD，∴∠PDC=90°，
∵AB是△PCD的中位線，
∴CD∥AB，AB⊥PA，AB⊥AD，
又PA?平面PAD，AD?平面PAD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∴CD⊥平面PAD．
∵AB$\stackrel{∥}{=}$DE，
∴四邊形ABED是平行四邊形，∴BE∥AD，
又EF為△PCD的中位線，∴EF∥PD．
又BE?平面BEF，EF?平面BEF，AD?平面PAD，PD?平面PAD，BE∩EF=E，PD∩AD=D，
∴平面PAD∥平面BEF，
∴CD⊥平面BEF，
又CD?平面PCD，
∴平面BEF⊥平面PCD．
（2）以A點為原點，以AB為x軸，AD為y軸，面ABCD的垂線為z軸建立空間直角坐標系，
由（1）知BA⊥平面PAD，所以z軸位于平面PAD內，所以∠PAz=30°，
∴P（0，-1，$\sqrt{3}$），A（0，0，0），B（$\sqrt{2}$，0，0），C（2$\sqrt{2}$，2，0），
∴$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{2}$，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{2}$，2，0），
設平面PBC的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x+y-\sqrt{3}z=0}\\{\sqrt{2}x+2y=0}\end{array}\right.$，令y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{2}$，1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
又$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{2}$，0，0）為平面PAD的一個法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AB}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{2}•\sqrt{\frac{10}{3}}}$=-$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
又平面PBC與平面PAD所成的二面角的平面角為銳角，
所以平面PBC與平面PAD所成的二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查了線面垂直，面面平行的判定與性質，二面角的計算，空間向量在立體幾何中的應用，屬于中檔題．