Question

12．對(duì)于任意的非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$若滿足$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$），$\overrightarrow$⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），則2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 不妨設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（x，y），非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$若滿足$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$），$\overrightarrow$⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），可得$\overrightarrow{a}•$$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）$=1-2x=0，$\overrightarrow$•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=x（2-x）-y²=0，聯(lián)立解得x，y，再利用向量夾角公式即可得出．

解答 解：不妨設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（x，y），
∵非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$若滿足$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$），$\overrightarrow$⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），
∴$\overrightarrow{a}•$$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）$=1-2x=0，
$\overrightarrow$•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=x（2-x）-y²=0，
聯(lián)立解得x=$\frac{1}{2}$，y=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$．
當(dāng)$\overrightarrow$=$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$時(shí)，2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=$（\frac{3}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow$=$（0，-\sqrt{3}）$．
$cos＜2\overrightarrow{a}-\overrightarrow，\overrightarrow{a}-2\overrightarrow＞$=$\frac{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）}{|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow||\overrightarrow{a}-2\overrightarrow|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，∴2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$．
同理可得：當(dāng)$\overrightarrow$=$（\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$時(shí)，2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、向量夾角公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．