Question

7．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=$\frac{3}{x}$-1
（Ⅰ）求f（0），f（-2）的值
（Ⅱ）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)f（x）為R上的奇函數(shù)便可得到f（0）=0，而由x＞0時的解析式便可求出f（2）=$\frac{1}{2}$，從而便得出f（-2）的值；
（Ⅱ）根據(jù)減函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，從而得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{3（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，證明f（x₁）＜f（x₂）便可得到f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）f（x）是定義在R上的奇函數(shù)；
∴f（0）=0；
x＞0時，f（x）=$\frac{3}{x}-1$，∴$f（2）=\frac{1}{2}$；
∴$f（-2）=-f（2）=-\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）證明：設(shè)x₁＞x₂＞0，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{3}{{x}_{1}}-\frac{3}{{x}_{2}}=\frac{3（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$；
∵x₁＞x₂＞0；
∴x₂-x₁＜0，x₁x₂＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．

點評 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在原點有定義時，原點處的函數(shù)值為0，減函數(shù)的定義，以及根據(jù)減函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為減函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分．