Question

17．已知a＞1，函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g（x）=2log_a（2x+t），當(dāng)x∈（-1，1），t∈[4，6]時(shí)，存在g（x）≤f（x）+4成立，則a的最小值為2．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)F（x）=g（x）-f（x），把f（x）和g（x）代入到F（x），然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式，再運(yùn)用基本不等式即可．

解答 解：令F（x）=g（x）-f（x），
∵f（x）=log_a（x+1），g（x）=2log_a（2x+t）（a＞1），
∴x∈（-1，1），t∈[4，6）時(shí)，F(xiàn)（x）=g（x）-f（x）有最小值是4，
由F（x）=g（x）-f（x）=log_a $\frac{（2x+t）^{2}}{x+1}$，x∈（-1，1），t∈[4，6），a＞1，
∴令h（x）=$\frac{（2x+t）^{2}}{x+1}$=4（x+1）+4（t-2）+$\frac{{（t-2）}^{2}}{x+1}$，
∵-1＜x＜1，4≤t＜6，
∴h（x）=4（x+1）+$\frac{{（t-2）}^{2}}{x+1}$+4（t-2）在（-1，0]上單調(diào)遞減，在[0，1）上單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（0）=4+（t-2）²+4（t-2）=[（t-2）+2]²=t²，
∴F（x）_min=log_at²=4，
∴a⁴=t²；
∵4≤t＜6，
∴a⁴=t²≥16，
∴a≥2．
故a的最小值為2，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 此題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，要求學(xué)生靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，熟練運(yùn)用化歸思想解決恒成立問題，易錯(cuò)點(diǎn)在于h（x）=4（x+1）+$\frac{{（t-2）}^{2}}{x+1}$+4（t-2），該先把最小值解出，再令它等于4，轉(zhuǎn)化為在t∈[4，6）上有解，屬于難題．