Question

8．已知f（x）=2ax³+x²+2x+a．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；
（2）證明對(duì)所有實(shí)數(shù)a，函數(shù)在區(qū)間（-1，1）上總有零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²+2x，令f（x）=0，解得函數(shù)的零點(diǎn)；
（2）由f（-1）•f（1）=-3（a+1）²≤0，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理，可得結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²+2x，
令f（x）=0，則x=0，或x=-2，
即當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為0，或-2，
證明：（2）∵f（x）=2ax³+x²+2x+a．
∴f（-1）=-a-1，f（1）=3a+3，
∴f（-1）•f（1）=-3（a+1）²≤0．
當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=-2x³+x²+2x-1，
此時(shí)f（$-\frac{1}{2}$）=0，
當(dāng)a≠-1時(shí)，f（-1）•f（1）＜0，
故函數(shù)在區(qū)間（-1，1）上總有零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，難度中檔．