Question

14．已知Rt△AOB中，|OB|=3，|斜邊AB|=5，點P是△AOB內切圓上一點，求以|PA|，|PB|，|PO|為直徑的三個圓面積之和的最大值與最小值．

Answer 1

分析 由題意可知△ABO是邊長為3，4，5的直角三角形，點P是此三角形內切圓上一動點，求三個圓的面積之和的最大值與最小值的和，轉化為點P到三角形三個頂點的距離的平方和的最值問題．

解答 解：以O為坐標原點，可設A（4，0）、B（0，3），
設P（x，y），△ABO內切圓半徑為r．
∵三角形ABC面積S=$\frac{1}{2}$OB×OA=$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$（AB+AO+BO）r，解得r=1，
即內切圓圓心坐標為（1，1），
∵P在內切圓上，
∴內切圓的方程為（x-1）²+（y-1）²=1．
∵P點到A，B，O距離的平方和為d=x²+y²+（x-4）²+y²+x²+（y-3）²
=3（x-1）²+3（y-1）²-2x+19=22-2x，
顯然0≤x≤2 即18≤d≤22，
∴$\frac{9π}{2}$≤$\frac{πd}{4}$≤$\frac{11π}{2}$，
即以PA，PB，PO為直徑的三個圓面積之和最大值為$\frac{11π}{2}$，最小值為$\frac{9π}{2}$．

點評 本題考查了解析法求最值，求三個圓的面積之和的最大值與最小值的和轉化為點P到三角形三個定點的距離的平方和的最值問題，體現(xiàn)了轉化的思想方法，是中檔題．