Question

11．已知函數(shù)f（x）=（log₂x-2）（log₄x-$\frac{1}{2}$）．
（1）當x∈[1，4]時，求該函數(shù)的值域；
（2）若f（x）≤mlog₂x對于x∈[4，16]恒成立，求m得取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用換元法令t=log₂x，t∈[0，2]，得f（t）=（t-2）（$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{2}$），利用二次函數(shù)性質(zhì)可得f（0）≥f（t）≥f（$\frac{3}{2}$），
進而求出值域；
（2）由（1）可整理不等式為t+$\frac{2}{t}$-3≤2m恒成立，只需求出左式的最大值即可，利用構(gòu)造函數(shù)g（t）=t+$\frac{2}{t}$，知在（$\sqrt{2}$，+∞）上遞增，求出最大值．

解答 解：令t=log₂x，t∈[0，2]，
∴f（t）=（t-2）（$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{2}$）
=$\frac{1}{2}$（t-2）（t-1），
∴f（0）≥f（t）≥f（$\frac{3}{2}$），
∴-$\frac{1}{8}$≤f（t）≤1，
故該函數(shù)的值域為[-$\frac{1}{8}$，1]；
（2）x∈[4，16]，
∴t∈[2，4]，
∴$\frac{1}{2}$（t-2）（t-1）≤mt，
∴t+$\frac{2}{t}$-3≤2m恒成立，
令g（t）=t+$\frac{2}{t}$，知在（$\sqrt{2}$，+∞）上遞增，
∴g（t）≤g（4）=$\frac{9}{2}$，
∴$\frac{9}{2}$-3≤2m，
∴m≥$\frac{3}{4}$．

點評 考查了換元法的應用和恒成立問題的轉(zhuǎn)換，屬于基礎(chǔ)題型，應熟練掌握．