Question

1．已知m∈R，命題P：對任意x∈[-1，1]，不等式m²-3m-x+1≤0恒成立；命題q：存在x∈[-1，1]，使得m-ax≤0成立．
（Ⅰ）當a=1，p且q為假，p或q為真時，求m的取值范圍；
（Ⅱ）若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=1，根據(jù)p且q為假，p或q為真時，求出命題的等價條件即可求m的取值范圍；
（Ⅱ）若p是q的充分不必要條件，建立不等式關(guān)系即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解（Ⅰ）∵對任意 x∈[-1，1]，不等式 x-1≥m²-3m 恒成立
∴（ x-1）_min≥m²-3m  即m²-3m≤-2 解得1≤m≤2
即 p 為真命題時，m 的取值范圍是[1，2]．
∵a=1，且存在 x∈[-1，1]，使得m≤ax 成立∴m≤1
即命題q 為真時，m≤1
∵p 且q 為假，p 或q 為真，
∴p、q 一真一假
當 p 真q 假時，則$\left\{\begin{array}{l}{1≤m≤2}\\{m＞1}\end{array}\right.$，即1＜m≤2，
當p假q 真時，則$\left\{\begin{array}{l}{m＜1或m＞2}\\{m≤1}\end{array}\right.$，即m＜1，
綜上所述，1＜m≤2或m＜1 …（5分）
（Ⅱ）當a=0 時顯然不合題意，
當a＞0 時，存在 x∈[-1，1]，使得m≤ax 成立
命題q 為真時m≤a
∵p 是q 的充分不必要條件
∴a≥2，
當a＜0 時，存在 x∈[-1，1]，使得m≤ax 成立
命題q 為真時m≤-a
∵p 是q 的充分不必要條件
∴a≤-2
綜上所述，a≥2或a≤-2                  …（10分）

點評 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷和應用，根據(jù)條件建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．