Question

5．已知圓心為C 的圓經過點A（-3，2）和點B（1，0），且圓心C在直線y=x+1上．
（1）求圓C的標準方程．
（2）已知線段MN的端點M的坐標（3，4），另一端點N在圓C上運動，求線段MN 的中點G的軌跡方程；
（3）若直線x-y+m=0與圓C交于A B兩點，當OA⊥OB 時（其中O為坐標原點），求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）設圓心坐標為C（a，a+1），根據(jù)A、B兩點在圓上利用兩點的距離公式建立關于a的方程，解出a值．從而算出圓C的圓心和半徑，可得圓C的方程．
（2）設出點G、N的坐標，再由中點坐標公式用G點的坐標表示N點的坐標，再代入圓的方程，整理后得到點G軌跡方程；
（3）假設存在滿足條件的直線l并設出其方程和點A，B的坐標，聯(lián)立圓的方程和直線方程消元后得到一元二次方程，再由韋達定理，OA⊥OB列出關系式，求出m的值．

解答 解：（1）∵圓心在直線y=x+1上，
∴設圓心坐標為C（a，a+1），
根據(jù)A（-3，2）和點B（1，0），在圓上，可得（x+3）²+（a-1）²=（a-1）²+（a+1）²，
解之得a=-2，
∴圓心坐標為C（-2，-1），半徑r=$\sqrt{10}$，
因此，此圓的標準方程是（x+2）²+（y+1）²=10．
（2）設N（x₁，y₁），G（x，y），
∵線段MN的中點是G，
∴由中點公式得x₁=2x-3，y₁=2y-4，
∵N在圓C上，∴（2x-1）²+（2y-2）²=10，
∴點G的軌跡方程是${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{5}{2}$．
（3）由直線x-y+m=0與圓聯(lián)立得2x²+（2m+6）x+m²+2m-5=0，
x₁x₂=$\frac{{m}^{2}+2m-5}{2}$①，
可得：y₁y₂=$\frac{{m}^{2}-4m-5}{2}$②；
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，把①②代入化簡得，m²-m-5=0，
解得$m=\frac{{1±\sqrt{21}}}{2}$．

點評 本題是直線與圓的方程綜合性題，考查了用待定系數(shù)法求圓的方程，用代入法求動點的軌跡方程；對于存在性的處理方法，先假設存在再由題意用設而不求思想和韋達定理列出關系式，注意驗證所求值的范圍．