Question

3．函數(shù)f（x）=x²+（2-6a）x+3a²
（1）若函數(shù)對于任意的x總有f（2-x）=f（2+x）成立，求a的值．
（2）若函數(shù)在區(qū)間（5，6）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（3）當x∈[0，1]時，求函數(shù)的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象的對稱軸是x=2，解出a的值即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到不等式，解出即可；（3）通過討論對稱軸的范圍，從而求出函數(shù)的最小值．

解答 解：（1）若函數(shù)對于任意的x總有f（2-x）=f（2+x）成立，
則x=-$\frac{（2-6a）}{2}$=3a-1=2，解得：a=1；
（2）若函數(shù)在區(qū)間（5，6）上單調(diào)遞增，
則對稱軸x=3a-1≤5，解得：a≤2；
（3）對稱軸x=3a-1＜0時，即a＜$\frac{1}{3}$時，f（x）_min=f（0）=3a²，
對稱軸x=3a-1在[0，1]，即$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{2}{3}$時，f（x）_min=f（3a-1）=6a-3，
對稱軸x=3a-1＞1，即a＞$\frac{2}{3}$時，f（x）_min=f（1）=3a²-6a+3．

點評 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，是一道中檔題．