Question

如圖展示了一個(gè)由區(qū)間（0，1）到實(shí)數(shù)集R的映射過(guò)程；區(qū)間（0，1）中的實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)M，如圖①；將線(xiàn)段AB圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)A、B恰好重合，如圖②；再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），如圖③．圖③中直線(xiàn)AM與x軸交于點(diǎn)N（n，0），則m的象就是n，記作f（m）=n．
（1）方程f（x）=0的解是

 

；
（2）下列說(shuō)法中正確命題的序號(hào)是

 

．（填出所有正確命題的序號(hào)）
①f（

1

4

）=1；②f（x）是奇函數(shù)；③f（x）在定義域上單調(diào)遞增；④f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

1

2

，0）對(duì)稱(chēng)；⑤f（x）＞

3

的解集是（

2

3

，1）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：借助于圖形觀察，方程f（x）=0，即N（0，0），M在A的正下方，即可得到m；
先利用f（

1

4

）=-1，判斷出①錯(cuò)；在有實(shí)數(shù)m所在區(qū)間（0，1）不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，知②錯(cuò)；
從圖形上可得f（x）在定義域上單調(diào)遞增，③對(duì)；先找到f（

1

2

）=0，再利用圖形判斷④對(duì)；
當(dāng)f（x）=

3

時(shí)，即N（

3

，0），直線(xiàn)AN：x+

3

y=

3

，代入圓方程求得M的坐標(biāo)，即可得到m，再由f（x）的單調(diào)性，即可判斷⑤．

解答： 解：如圖，因?yàn)镸在以（0，1-

1

2π

）為圓心，

1

2π

為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
方程f（x）=0，即N（0，0），M在A的正下方，
即有AM的弧長(zhǎng)為

1

2

，即m=

1

2

，解得x=

1

2

；
對(duì)于①，當(dāng)m=

1

4

時(shí)．M的坐標(biāo)為（-

1

2π

，1-

1

2π

），
直線(xiàn)AM方程y=x+1，
所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-1，0），故f（

1

4

）=-1，
即①錯(cuò)；
對(duì)于②，因?yàn)閷?shí)數(shù)m所在區(qū)間（0，1）不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以f（x）不存在奇偶性．故②錯(cuò)；
對(duì)于③，當(dāng)實(shí)數(shù)m越來(lái)越大時(shí)，
如圖直線(xiàn)AM與x軸的交點(diǎn)N（n，0）也越來(lái)越往右，
即n也越來(lái)越大，所以f（x）在定義域上單調(diào)遞增，即③對(duì)；
對(duì)于④，當(dāng)實(shí)數(shù)m=

1

2

時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在點(diǎn)A的正下方，
此時(shí)點(diǎn)N（0，0），所以f（

1

2

）=0，
再由圖形可知f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

1

2

，0）對(duì)稱(chēng)，即④對(duì)；
對(duì)于⑤，當(dāng)f（x）=

3

時(shí)，即N（

3

，0），直線(xiàn)AN：x+

3

y=

3

，代入圓方程x²+（y-1+

1

2π

）²=

1

4π2

，
求得M（

3

4π

，1-

1

4π

），|AM|=

1

2π

，AM的弧長(zhǎng)為1-

1

6

=

5

6

，由③可得解集是（

5

6

，1）．則⑤錯(cuò)誤．
故答案為：

1

2

，③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了在新定義的條件下解決函數(shù)問(wèn)題，是一道很好的題．關(guān)于新定義型的題，關(guān)鍵是理解定義，并會(huì)用定義來(lái)解題．