Question

18．已知兩定點A（-1，0），B（1，0），若直線l上存在點M，使得|MA|+|MB|=3，則稱直線l為“M型直線”，給出下列直線：①x=2；②y=x+3；③y=-2x-1；④y=1；⑤y=2x+3．其中是“M型直線”的條數(shù)為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 點M的軌跡方程是$\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{4}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{4}}=1$，把①，②，③，④，⑤分別和$\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{4}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{4}}=1$聯(lián)立方程組，如果方程組有解，則這條直線就是“M型直線”．

解答 解：由題意可知，點M的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，其方程是$\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{4}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{4}}=1$，
①把x=2代入$\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{4}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{4}}=1$，無解，∴x=2不是“M型直線”；
②把y=x+3代入$\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{4}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{4}}=1$，無解，∴y=x+3不是“M型直線”；
③把y=-2x-1代入$\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{4}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{4}}=1$，有解，∴y=-2x-1是“M型直線”；
④把y=1代入$\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{4}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{4}}=1$，有解，∴y=1是“M型直線”；
⑤y=2x+3代入$\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{4}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{4}}=1$，有解，∴y=2x+3是“M型直線”．
故選：C．

點評 本題是新定義題，考查了橢圓的定義及標準方程，考查了數(shù)學轉化思想方法及方程思想方法，解答此題的關鍵是把問題轉化為判斷直線方程與橢圓方程聯(lián)立的方程組是否有解，屬中檔題．