【題目】已知函數(shù)g(x)=ax2﹣2ax+1+b(a≠0,b<1),在區(qū)間[2,3]上有最大值4,最小值1,設f(x)=
(1)求a,b的值;
(2)不等式f(2x)﹣k2x≥0在x∈[﹣1,1]上恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;
(3)方程f(|2x﹣1|)+k( ﹣3)有三個不同的實數(shù)解,求實數(shù)k的取值范圍.

【答案】
(1)解:g(x)=a(x﹣1)2+1+b﹣a,

當a>0時,g(x)在[2,3]上為增函數(shù),

,可得 ,

當a<0時,g(x)在[2,3]上為減函數(shù).

可得 可得 ,

∵b<1

∴a=1,b=0

即g(x)=x2﹣2x+1.f(x)=x+ ﹣2


(2)解:方程f(2x)﹣k2x≥0化為2x+ ﹣2≥k2x,

k≤1+

=t,k≤t2﹣2t+1,

∵x∈[﹣1,1],∴t ,記φ(t)=t2﹣2t+1,

∴φ(t)min=0,

∴k≤0.


(3)解:由f(|2x﹣1|)+k( ﹣3)=0

得|2x﹣1|+ ﹣(2+3k)=0,

|2x﹣1|2﹣(2+3k)|2x﹣1|+(1+2k)=0,|2x﹣1|≠0,

令|2x﹣1|=t,則方程化為t2﹣(2+3k)t+(1+2k)=0(t≠0),

∵方程|2x﹣1|+ ﹣(2+3k)=0有三個不同的實數(shù)解,

∴由t=|2x﹣1|的圖象(如右圖)知,

t2﹣(2+3k)t+(1+2k)=0有兩個根t1、t2,且0<t1<1<t2或0<t1<1,t2=1,

記φ(t)=t2﹣(2+3k)t+(1+2k),

∴k>0.


【解析】(1)利用二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值,通過a與0的大小討論,列出方程,即可求a,b的值;(2)轉化不等式f(2x)﹣k2x≥0,為k在一側,另一側利用換元法通過二次函數(shù)在x∈[﹣1,1]上恒成立,求出最值,即可求實數(shù)k的取值范圍;(3)化簡方程f(|2x﹣1|)+k( ﹣3)=0,轉化為兩個函數(shù)的圖象的交點的個數(shù),利用方程有三個不同的實數(shù)解,推出不等式然后求實數(shù)k的取值范圍.

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